Suite moyenne

Bien que la convergence de cette suite soit lente, il est possible de l'utiliser pour construire de nouvelles suites dont la convergence vers \(\pi\) est plus rapide.

Pour tout entier naturel \(n\) , on pose alors \(q_n = \dfrac{p_n+p_{n+1}}{2}\) , \(r_n = \dfrac{q_n+q_{n+1}}{2}\) , \(s_n = \dfrac{r_n+r_{n+1}}{2}\) , \(t_n = \dfrac{s_n+s_{n+1}}{2}\) ... ce procédé pouvant être répété autant de fois que l'on souhaite.

Exercice 1

Justifier que les suites ainsi construites convergent toutes vers \(\pi\) .

Exercice 2

On souhaite déterminer la valeur de  \(t_{30}\) .
1. Combien de termes de la suite \((p_n)\) faut-il calculer ?
2. En comptant l'ensemble des suites en jeu, combien de termes faut-il calculer en tout pour déterminer la valeur de \(t_{30}\) ?
3. Le programme suivant permet de calculer les \(n\) premiers termes de la suite \((t_n)\) . Expliquer brièvement le rôle de la fonction moyenne_suite.

def moyenne_suite(L):
    n = len(L)
    suite = [0] * (n-1)
    for i in range(n-1):
        suite[i] = (L[i]+L[i+1])/2
    return suite

def pi_somme2(n) :
    Lp = pi_somme1(n)
    Lq = moyenne_suite(Lp)
    Lr = moyenne_suite(Lq)
    Ls = moyenne_suite(Lr)
    Lt = moyenne_suite(Ls)
    return Lt

4. À l'aide de ce programme, calculer la valeur de \(t_{30}\) . Comparer la précision de l'approximation de \(\pi\)  entre cette valeur et la valeur de \(p_{10000}\) précédemment calculée.